🎯 Mục tiêu bài học

• Con biết cách chuyển dịch một bài toán đếm bằng lời sang dạng tập hợp có điều kiện.

• Con sử dụng thuần thục phương pháp đếm gián tiếp (Đếm phần bù) đối với các bài toán có từ khóa "ít nhất", "không quá".

• Con giải quyết được bài toán vách ngăn Euler có điều kiện biên (ẩn số nhận giá trị bằng 0).

🛑 BÀI TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM TỰ NHIÊN (Cơ sở của Vách ngăn mở rộng)

Đề bài dưới dạng ký hiệu chuyên Toán:

Tìm số lượng phần tử của tập hợp $A$ sau đây:

$$A = \{(x, y, z) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid x + y + z = 10\}$$

💡 Hướng dẫn ta dẫn dắt con bẻ khóa:

• ta hỏi con dịch đề bài: "Tìm số các cặp ba số $(x, y, z)$ là các số tự nhiên (tức là có thể bằng 0) sao cho tổng của chúng bằng 10".

• Sự khác biệt: Bài toán trước chúng ta làm là nghiệm nguyên dương (ẩn $\ge 1$). Bài này là nghiệm tự nhiên (ẩn $\ge 0$, nghĩa là có bạn được 0 viên kẹo).

• Mẹo đổi biến cho con: Để đưa về bài toán chia kẹo quen thuộc (ai cũng có ít nhất 1 viên), ta sẽ "cho mỗi bạn mượn tạm 1 viên kẹo ảo".

📝 Lời giải chi tiết:

• Vì $x, y, z \in \mathbb{N}$ nên $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$.

• Đặt ẩn phụ mới:

  • $X = x + 1 \implies X \ge 1$

  • $Y = y + 1 \implies Y \ge 1$

  • $Z = z + 1 \implies Z \ge 1$

• Thay vào phương trình ban đầu:

  $x + y + z = 10 \implies (X - 1) + (Y - 1) + (Z - 1) = 10$

  $$\implies X + Y + Z = 13$$

• Bài toán trở thành: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình mới $X + Y + Z = 13$ (Tương đương chia 13 viên kẹo cho 3 bạn, bạn nào cũng có ít nhất 1 viên).

• Áp dụng công thức vách ngăn Euler cơ bản:

  $$\vert{}A\vert{} = C_{13-1}^{3-1} = C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66 \text{ (phần tử).}$$

• Kết luận: Tập hợp $A$ có tất cả 66 phần tử.

Mẹo nhớ công thức nghiệm $\ge 0$ cho con: Chia $n$ viên kẹo cho $k$ người (chấp nhận có người 0 kẹo), số cách luôn là: $C_{n+k-1}^{k-1}$. (Ở bài này là $C_{10+3-1}^{3-1} = C_{12}^2 = 66$).

🌌 BÀI TOÁN 2: TƯ DUY PHẦN BÙ (ĐA THỨC ĐẾM - Form đề PTNK)

Đề bài: Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một sao cho số đó nhất thiết phải chứa chữ số 5?

💡 Hướng dẫn  dẫn dắt con bẻ khóa:

Nếu đếm trực tiếp: xếp số 5 ở hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị... con sẽ bị rối và rất dễ đếm trùng.

Hãy dạy con tư duy ngược (Phần bù):

📝 Lời giải chi tiết:

Gọi số có 4 chữ số khác nhau có dạng $\overline{abcd}$ (với $a \neq 0$).

• Bước 1: Tính tổng số lượng số có 4 chữ số khác nhau đôi một (Tập Vũ trụ)

  • Chọn $a$: Có 6 cách (từ 1 đến 6, bỏ số 0).

  • Chọn $b$: Có 6 cách (bỏ chữ số vừa chọn cho $a$, lấy lại số 0).

  • Chọn $c$: Có 5 cách.

  • Chọn $d$: Có 4 cách.

  • $\implies$ Có tất cả: $6 \times 6 \times 5 \times 4 = 720$ số.

• Bước 2: Tính số lượng số có 4 chữ số khác nhau mà KHÔNG CHỨA số 5

  • Khi cấm chữ số 5, tập hợp số của chúng ta chỉ còn lại 6 số: $\{0, 1, 2, 3, 4, 6\}$.

  • Chọn $a$: Có 5 cách (bỏ số 0 và số 5).

  • Chọn $b$: Có 5 cách (lấy lại số 0).

  • Chọn $c$: Có 4 cách.

  • Chọn $d$: Có 3 cách.

  • $\implies$ Có tất cả: $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ số.

• Bước 3: Chốt hạ bằng phép trừ tập hợp

  • Số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài (có chứa chữ số 5) là:

    $$720 - 300 = 420 \text{ số.}$$

🚀 BÀI TOÁN 3: "ĐẲNG CẤP PTNK" - KẾT HỢP VÁCH NGĂN VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Đề bài: Có bao nhiêu bộ số nguyên dương $(x, y, z)$ thỏa mãn điều kiện bất phương trình sau:

$$x + y + z \le 10$$

💡 Hướng dẫn  dẫn dắt con bẻ khóa:

Đề bài cho dấu nhỏ hơn hoặc bằng ($\le$) chứ không phải dấu bằng ($=$).

• Cách thông thường: Con sẽ phải chia làm nhiều trường hợp: tổng bằng 3, bằng 4, bằng 5... rồi cộng các kết quả vách ngăn lại. Cách này đúng nhưng mất thời gian.

• Tuyệt chiêu chuyên Toán: Biến bất phương trình thành phương trình bằng cách thêm một "ẩn biến phụ" (gọi là Ẩn rác).

📝 Lời giải chi tiết:

• Để biến dấu $\le 10$ thành dấu $= 10$, ta thêm vào một số nguyên $t \ge 0$ đóng vai trò là "phần bù" còn thiếu để tổng chạm đến 10.

• Khi đó, bài toán tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình:

  $$x + y + z + t = 10$$

  Trong đó: $x, y, z$ là các số nguyên dương ($\ge 1$), còn $t$ là số tự nhiên ($\ge 0$).

• Đổi biến để đồng nhất điều kiện: Vì $t \ge 0$, ta đặt $T = t + 1 \implies T \ge 1$.

• Thay vào phương trình:

  $x + y + z + (T - 1) = 10 \implies x + y + z + T = 11$

• Bây giờ, bài toán trở thành tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình 4 ẩn: $x + y + z + T = 11$ (Chia 11 viên kẹo cho 4 người, ai cũng có ít nhất 1 viên).

• Áp dụng công thức vách ngăn Euler:

  $$C_{11-1}^{4-1} = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \text{ (bộ số).}$$

• Kết luận: Có tất cả 120 bộ số thỏa mãn.

💬 Gợi ý cho hai bố con buổi tối nay:

Bài toán số 3 là một ví dụ điển hình về cái gọi là "vẻ đẹp của toán tổ hợp". Việc thêm ẩn phụ $t$ giống như việc anh chuẩn bị 10 viên kẹo chia cho 3 đứa trẻ, thay vì ép chúng ăn hết ($\le 10$), chúng ta tạo ra người thứ 4 là "Cái giỏ đựng kẹo thừa". Số kẹo thừa thãi nằm trong giỏ chính là giá trị của $t$.