BỐN DẠNG TOÁN ĐẾM ( TỔ HỢP VÀ HOÁN VỊ)

BỘ BÍ KÍP PHÂN BIỆT 4 DẠNG TOÁN ĐẾM (TỔ HỢP & HOÁN VỊ)

Muốn biết bài toán thuộc dạng nào, con chỉ cần đặt ra 2 CÂU HỎI BẢO BỐI:

Thứ tự có quan trọng không?
- Có (thay đổi vị trí $\rightarrow$ tạo ra cách mới) $\implies$ HOÁN VỊ
- Không (thay đổi vị trí $\rightarrow$ kết quả vẫn như cũ) $\implies$ TỔ HỢP
Có yếu tố LẶP lại không?
- Các vật/lựa chọn phân biệt hoàn toàn $\implies$ KHÔNG LẶP
- Có vật giống nhau hoặc được chọn 1 loại nhiều lần $\implies$ LẶP

1. SƠ ĐỒ BẢNG TỔNG HỢP NHANH

Cấu hình	Thứ tự?	Có Lặp?	Công thức	Ví dụ điển hình
Hoán vị không lặp	CÓ	KHÔNG	$P_n = n!$	Xếp 5 bạn học sinh khác nhau vào một hàng dọc.
Tổ hợp không lặp	KHÔNG	KHÔNG	$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$	Chọn 3 bạn từ 5 bạn đi trực nhật.
Hoán vị lặp	CÓ	CÓ	$P_n(k_1, k_2...) = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! ...}$	Xếp các chữ cái trong từ "BANANA" (3 chữ A, 2 chữ N, 1 chữ B).
Tổ hợp lặp	KHÔNG	CÓ	$C_{n+k-1}^k$	Mua $k = 2$ chiếc nón từ $n = 3$ loại nón (cho phép mua 2 nón cùng loại).

2. CHI TIẾT TỪNG DẠNG & CÁCH NHẬN DIỆN

Dạng 1: Hoán vị không lặp (Đổi chỗ hàng ngũ)

Bản chất: Sắp xếp tất cả $n$ vật khác nhau vào đúng $n$ vị trí.
Tư duy: Đổi vị trí 2 bạn bất kỳ là tạo ra hàng mới.
Bài toán ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn $A, B, C, D, E$ đứng thành một hàng?

$\text{Số cách} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ cách}$

Dạng 2: Tổ hợp không lặp (Bốc nhóm / Chọn đội)

Bản chất: Chọn $k$ vật từ $n$ vật khác nhau (chỉ lấy ra một nhóm, không phân biệt ai ra trước ai ra sau).
Tư duy: Chọn bạn A rồi chọn bạn B thì cũng giống như chọn bạn B rồi chọn bạn A.
Bài toán ví dụ: Có 5 bạn, chọn ra 3 bạn đi cắm trại.

$\text{Số cách} = C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \text{ cách}$

Dạng 3: Hoán vị lặp (Xếp hàng có đồ giống nhau)

Bản chất: Sắp xếp $n$ vật vào một hàng, nhưng trong đó có những nhóm vật giống hệt nhau.
Tư duy: Đổi chỗ 2 vật giống hệt nhau thì hàng xếp không có gì thay đổi, nên phải chia bớt để triệt tiêu trường hợp trùng.
Bài toán ví dụ: Xếp 6 chữ cái trong từ "BANANA" ( $1$ chữ B, $3$ chữ A, $2$ chữ N).

$\text{Số cách} = \frac{6!}{1! \cdot 3! \cdot 2!} = 60 \text{ cách}$

Dạng 4: Tổ hợp lặp (Đi chợ chọn đồ)

Bản chất: Chọn $k$ món đồ từ $n$ loại đồ có sẵn (mỗi loại có số lượng thoải mái, con có thể chọn lặp lại 1 loại nhiều lần).
Tư duy: Không quan trọng thứ tự bỏ món nào vào giỏ trước, miễn là tổng số món lấy ra bằng $k$ .
Bài toán ví dụ: Tiệm bánh có $3$ loại bánh (A, B, C). Con muốn mua $5$ cái bánh.

$\text{Số cách} = C_{3 + 5 - 1}^5 = C_7^5 = 21 \text{ cách}$

3. MẸOGHI NHỚ CHO CON

"Cứ đụng đến xếp hàng, đứng thứ tự, làm dãy số $\rightarrow$ Dùng HOÁN VỊ".
"Cứ đụng đến chọn nhóm, chọn đội, bốc ngẫu nhiên $\rightarrow$ Dùng TỔ HỢP".
"Nếu thấy có đồ giống nhau hoặc cho phép chọn lại loại cũ $\rightarrow$ Thêm chữ LẶP".

← Bài trước Bài tiếp theo →