Đề bài: Trong một nhóm 6 người, chứng minh rằng luôn có một nhóm 3 người đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau.
Bước 1: Mô hình hóa. con vẽ 6 điểm trên giấy tượng trưng cho 6 người (đặt tên từ $A, B, C, D, E, F$) xếp thành một hình lục giác cho dễ nhìn.
Bước 2: Quy ước màu sắc. Nếu 2 người quen nhau, ta nối bằng một đoạn thẳng màu Đỏ. Nếu không quen, ta nối bằng một đoạn thẳng màu Xanh.
Bước 3: Chuyển dịch ngôn ngữ toán học. Bài toán trở thành: "Chứng minh rằng khi nối tất cả các cặp điểm bằng màu xanh hoặc đỏ, luôn xuất hiện ít nhất một tam giác có 3 cạnh cùng màu (hoặc toàn đỏ, hoặc toàn xanh)."
Xây chuồng: Ta chọn ra một điểm bất kỳ, ví dụ là điểm $A$. Từ $A$ sẽ có tất cả 5 đoạn thẳng nối đến 5 điểm còn lại ($B, C, D, E, F$). 5 đoạn thẳng này chính là 5 con bồ câu.
Mỗi đoạn thẳng chỉ có thể có 2 màu: Đỏ hoặc Xanh. Đây chính là 2 cái chuồng.
Áp dụng Dirichlet: Nhốt 5 con bồ câu (đoạn thẳng) vào 2 cái chuồng (màu sắc). Vì $5 = 2 \times 2 + 1$, theo nguyên lý Dirichlet mở rộng, luôn tồn tại ít nhất 3 đoạn thẳng xuất phát từ $A$ có cùng một màu.
Giả sử 3 đoạn thẳng đó có màu Đỏ, và nối từ $A$ đến 3 điểm $B, C, D$. (Trường hợp màu Xanh chứng minh hoàn toàn tương tự).
Bây giờ, ta xét tính chất của 3 điểm $B, C, D$ này bằng cách nhìn vào các đoạn thẳng nối chúng với nhau ($BC, CD, DB$):
Trường hợp 1: Nếu có ít nhất một đoạn thẳng trong 3 đoạn này màu Đỏ (ví dụ là $BC$). Khi đó, tam giác $ABC$ sẽ có cả 3 cạnh $AB, AC, BC$ đều màu Đỏ $\rightarrow$ Xuất hiện nhóm 3 người đôi một quen nhau (Đpcm).
Trường hợp 2: Nếu không có đoạn thẳng nào màu Đỏ, nghĩa là cả 3 cạnh $BC, CD, DB$ đều phải là màu Xanh. Khi đó, tam giác $BCD$ là tam giác có 3 cạnh toàn màu Xanh $\rightarrow$ Xuất hiện nhóm 3 người đôi một không quen nhau (Đpcm).
Dưới đây là 2 bài toán phát triển trực tiếp từ tư duy trên, cực kỳ hay xuất hiện trong các đề thi chuyên.
Đề bài: Có 9 người, trong đó bất kỳ 3 người nào cũng có ít nhất 2 người quen nhau. Chứng minh rằng luôn tồn tại một nhóm 4 người đôi một quen nhau.
Hướng dẫn con tư duy: Bài này dùng phương pháp Phản chứng kết hợp Dirichlet. Khuyên con đi tìm đối tượng "lập dị" nhất (người có ít người quen nhất hoặc nhiều người quen nhất).
Lời giải chuẩn:
Giả sử phản chứng: Không tồn tại nhóm 4 người nào đôi một quen nhau.
Ta tìm người có số người quen ít nhất. Gọi $A$ là người có ít người quen nhất trong nhóm.
Bước 1: Xét tập hợp $S$ gồm những người không quen $A$. Số người quen của $A$ là $k$, vậy số người không quen $A$ là $9 - 1 - k = 8 - k$.
Bước 2: Chọn ra 2 người bất kỳ trong tập $S$, giả sử là $B$ và $C$. Xét bộ ba $\{A, B, C\}$. Theo đề bài, trong 3 người này phải có ít nhất 2 người quen nhau. Mà $A$ không quen $B$, $A$ không quen $C$, nên bắt buộc $B$ phải quen $C$.
Vì $B, C$ là 2 người bất kỳ trong $S$ đều quen nhau, suy ra tất cả những người trong tập $S$ đều đôi một quen nhau.
Bước 3: Để không vi phạm giả sử phản chứng (không có nhóm 4 người nào đôi một quen nhau), thì tập $S$ chỉ được phép có tối đa 3 người. Do đó: $8 - k \le 3 \implies k \ge 5$.
Vì $k \ge 5$, nghĩa là $A$ quen ít nhất 5 người. Mà $A$ là người có số người quen ít nhất, nên mỗi người trong nhóm 9 người này đều phải quen với ít nhất 5 người khác.
Bước 4 (Tính bất biến): Tổng số "mối quan hệ đôi" trong nhóm là: $\frac{9 \times 5}{2} = 22.5$ (vô lý vì số mối quan hệ phải là số nguyên). Sự mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử sai. Vậy luôn có nhóm 4 người đôi một quen nhau.
Đề bài: Trong một hình vuông có cạnh bằng $1$, người ta lấy $5$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được $2$ điểm trong số đó sao cho khoảng cách giữa chúng không vượt quá $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (tức là $\le \frac{\sqrt{2}}{2}$).
Hướng dẫn con tư duy: Đề bài cho 5 điểm (5 bồ câu). Ta cần tạo ra các vùng diện tích (Chuồng) sao cho khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong cùng một chuồng chính là $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Anh hỏi con: "Hình nào có cạnh hoặc đường chéo bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$?" $\rightarrow$ Đó chính là hình vuông nhỏ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$.
Lời giải chuẩn:
Chia hình vuông lớn cạnh bằng $1$ thành $4$ hình vuông nhỏ bằng nhau có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ (bằng cách nối các trung điểm của các cạnh đối diện).
Ta coi $4$ hình vuông nhỏ này là $4$ cái chuồng.
Đem nhốt $5$ điểm (bồ câu) vào $4$ cái chuồng này. Theo nguyên lý Dirichlet, chắc chắn sẽ có ít nhất một hình vuông nhỏ chứa từ $2$ điểm trở lên.
Mà trong một hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{2}$, khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ nằm trong nó chính là độ dài của đường chéo.
Độ dài đường chéo của hình vuông nhỏ là: $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Do đó, hai điểm nằm cùng trong hình vuông nhỏ này sẽ có khoảng cách không vượt quá $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (Đpcm).
Khi sang dạng đồ thị/hình học này, con sẽ rất dễ bị ngợp vì không biết bắt đầu vẽ từ đâu, hãy kiên nhẫn:
Bảo con dùng bút chì màu (xanh, đỏ) vẽ tường minh các trường hợp của bài 1. Sự kích thích thị giác giúp não bộ ghi nhớ cấu hình hình học rất tốt.
Ở bài 3, hãy nhắc con về định lý Pythagore để tính đường chéo.