Bài toán 3 (Dạng chia hết): Cho một tập hợp gồm 6 số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 2 số trong tập hợp đó có hiệu của chúng chia hết cho 5.
Hướng dẫn con tư duy:
Đề bài yêu cầu: Hiệu hai số chia hết cho 5 ($a - b \ \vdots \ 5$).
Hỏi con: "Khi nào thì hiệu hai số chia hết cho 5?" $\rightarrow$ Khi chúng có cùng số dư khi chia cho 5 (Ví dụ: 17 chia 5 dư 2, 7 chia 5 dư 2 $\rightarrow 17 - 7 = 10 \ \vdots \ 5$).
Vậy "Chuồng" ở đây chính là các loại số dư khi chia cho 5!
Lời giải chuẩn:
Một số nguyên khi chia cho 5 chỉ có thể có 5 loại số dư là: $0, 1, 2, 3, 4$. Ta coi 5 loại số dư này là $5$ cái chuồng.
Đề bài cho 6 số nguyên bất kỳ, ta coi 6 số này là $6$ con bồ câu đem nhốt vào 5 cái chuồng số dư nói trên.
Theo nguyên lý Dirichlet, vì số bồ câu ($6$) lớn hơn số chuồng ($5$), nên chắc chắn tồn tại ít nhất 2 số nguyên có cùng số dư khi chia cho 5.
Vì hai số này có cùng số dư nên hiệu của chúng sẽ chia hết cho 5 (đpcm).
Bài toán 4 (Dạng nâng cao - Trích đề thi học sinh giỏi): Chứng minh rằng trong 11 số nguyên bất kỳ, luôn chọn được 2 số có chữ số tận cùng giống nhau.
Hướng dẫn con tư duy:
Chữ số tận cùng của một số chính là số dư của số đó khi chia cho 10.
Có bao nhiêu chữ số tận cùng khả dĩ? Có 10 chữ số từ $0$ đến $9$.
Lời giải chuẩn:
Ta lập $10$ cái chuồng tương ứng với 10 chữ số tận cùng từ $0, 1, 2, ..., 9$.
Coi 11 số nguyên đã cho là $11$ con bồ câu nhốt vào 10 cái chuồng này.
Theo nguyên lý Dirichlet, vì $11 > 10$ nên tồn tại ít nhất 2 số rơi vào cùng một chuồng, tức là có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 1: Một túi chứa các viên bi gồm 3 màu: Đỏ, Xanh, Vàng. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có ít nhất 4 viên bi cùng màu?
(Đáp số: 3 chuồng màu $\times$ 3 viên + 1 = 10 viên).
Bài 2: Cho 3 số lẻ bất kỳ. Chứng minh rằng luôn tìm được 2 số có tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 4.
(Gợi ý : Số lẻ chia 4 chỉ có thể dư 1 hoặc dư 3. Có 3 số lẻ (3 bồ câu) mà chỉ có 2 loại số dư (2 chuồng) $\rightarrow$ có 2 số cùng số dư (hiệu chia hết cho 4) HOẶC có một số dư 1 và một số dư 3 (tổng chia hết cho 4)).