Con hiểu được khái niệm "Vị trí thắng" (Winning position) và "Vị trí thua" (Losing position).
Con làm chủ được Tư duy đối xứng (Chiến thuật gương soi) để giành chiến thắng trong các trò chơi hai người.
Con biết cách quy đổi các bài toán dạng trò chơi về cấu hình toán học rời rạc.
Trong trò chơi hai người đi luân phiên và không có hòa, một vị trí được gọi là "Trạng thái Thua" nếu bất kỳ nước đi hợp lệ nào từ vị trí đó cũng đều đưa đối phương đến một "Trạng thái Thắng".
Mục tiêu của mình là: Luôn đẩy đối phương vào Trạng thái Thua, và kéo Trạng thái Thắng về phía mình.
Mẹo dạy: Anh hãy chuẩn bị khoảng 20-30 viên bi, kẹo hoặc quân cờ vua để hai bố con "thực chiến" ngay trên bàn học.
Đề bài: Có một đống gồm 23 viên sỏi. Hai người chơi thay phiên nhau bốc sỏi từ đống này. Mỗi lượt, một người chỉ được phép bốc từ 1 đến 4 viên sỏi. Người bốc được viên sỏi cuối cùng (làm cho đống sỏi hết sạch) là người chiến thắng.
Hỏi người đi trước hay người đi sau sẽ có chiến thuật chắc chắn thắng? Chiến thuật đó là gì?
Anh hãy chơi thử với con 1-2 ván mà không nói trước quy luật. Cứ để con bốc trước, rồi anh dùng chiến thuật để thắng con.
Sau khi con thua, anh gợi ý: "Con có thấy mỗi lượt, dù con bốc bao nhiêu viên, bố luôn có cách bốc để tổng số sỏi bố và con bốc trong 1 vòng luôn bằng 5 không?" (Số 5 lấy từ: $1 + 4 = 5$).
Phân tích số dư: Ta lấy tổng số sỏi chia cho số lượng bốc tối đa + tối thiểu ($4 + 1 = 5$).
Ta có: $23 : 5 = 4$ dư 3.
Chiến thuật dành cho người đi trước (Thắng):
Lượt 1: Người đi trước bốc đúng 3 viên sỏi (số dư). Lúc này đống sỏi còn lại $23 - 3 = 20$ viên (là một bội số của 5).
Các lượt tiếp theo: Bất kể người đi sau bốc $x$ viên ($1 \le x \le 4$), thì người đi trước sẽ bốc ngay $5 - x$ viên.
Hành động này giữ cho số sỏi còn lại sau mỗi vòng đấu luôn là bội số của 5 ($15 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 0$).
Khi đống sỏi còn đúng 5 viên, người đi sau bốc bao nhiêu viên ($x$ viên) thì người đi trước sẽ bốc nốt $5-x$ viên còn lại và giành chiến thắng.
Kết luận: Người đi trước thắng.
Đề bài: Trên bàn có 2 đống sỏi, đống thứ nhất có 15 viên, đống thứ hai cũng có 15 viên. Hai người chơi luân phiên nhau bốc sỏi. Mỗi lượt, một người được quyền bốc một số lượng sỏi tùy ý (ít nhất 1 viên, có thể bốc hết cả đống) nhưng chỉ được bốc ở một đống. Người bốc viên sỏi cuối cùng trên bàn là người thắng.
Hỏi ai là người thắng và chiến thuật là gì?
Cấu hình 2 đống sỏi bằng nhau tạo ra một tính chất cực kỳ đẹp: Tính đối xứng.
Anh bảo con: "Trò này con nên đi sau. Bố làm gì với đống bên trái, con hãy làm Y HỆT như thế với đống bên phải cho bố!"
Chiến thuật dành cho người đi sau (Thắng):
Người đi sau sẽ áp dụng Chiến thuật đối xứng (Gương soi).
Nếu người đi trước bốc $k$ viên sỏi ở đống thứ nhất, người đi sau lập tức bốc đúng $k$ viên sỏi ở đống thứ hai.
Nếu người đi trước bốc $m$ viên ở đống thứ hai, người đi sau lập tức bốc đúng $m$ viên ở đống thứ nhất.
Biện luận: Chiến thuật này đảm bảo sau mỗi lượt đi của người đi sau, số sỏi ở 2 đống luôn luôn bằng nhau. Do đó, người đi trước luôn là người phải phá vỡ thế cân bằng, và người đi sau luôn có nước đi đối xứng để đưa về thế cân bằng. Vì số sỏi giảm dần, người đi trước sẽ là người làm sạch một đống trước, và người đi sau sẽ bốc nốt đống còn lại để thắng.
Kết luận: Người đi sau chắc chắn thắng.
Đề bài: Có 20 viên bi được xếp thành một vòng tròn đều nhau. Hai người chơi luân phiên bốc bi. Mỗi lượt, một người được phép bốc 1 viên bi hoặc 2 viên bi đứng cạnh nhau. Người bốc viên bi cuối cùng là người thắng. Hỏi ai có chiến thuật thắng?
Bài toán này nhìn qua thì giống bốc sỏi bình thường, nhưng việc xếp thành vòng tròn làm thay đổi hoàn toàn cục diện. Ban đầu vòng tròn không có hai đầu, nhưng ngay sau khi người thứ nhất bốc (dù bốc 1 hay 2 viên), vòng tròn lập tức bị đứt gãy và trở thành một chuỗi thẳng có hai đầu.
Lúc này, tính đối xứng lại xuất hiện!
Chiến thuật dành cho người đi sau (Thắng):
Lượt đầu tiên của người 1: Người thứ nhất bắt đầu bằng việc bốc 1 viên hoặc 2 viên đứng cạnh nhau. Lúc này, vòng tròn 20 viên bị cắt đứt, biến thành một đoạn thẳng gồm 19 viên (nếu người 1 bốc 1 viên) hoặc 18 viên (nếu người 1 bốc 2 viên).
Lượt đầu tiên của người 2 (Chốt hạ chiến thuật): Người thứ hai sẽ bốc ở chính giữa đoạn thẳng còn lại để chia đoạn thẳng đó thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Trường hợp A: Nếu người 1 bốc 1 viên $\rightarrow$ còn 19 viên. Người 2 bốc 1 viên ở chính giữa (viên thứ 10). Đoạn thẳng bị chia làm 2 phần độc lập, mỗi phần có đúng 9 viên bi.
Trường hợp B: Nếu người 1 bốc 2 viên $\rightarrow$ còn 18 viên. Người 2 bốc 2 viên ở chính giữa (viên thứ 9 và 10). Đoạn thẳng bị chia làm 2 phần độc lập, mỗi phần có đúng 8 viên bi.
Các lượt tiếp theo: Trận đấu bây giờ chia làm 2 chiến tuyến bằng nhau hoàn toàn. Người thứ nhất đi thế nào ở nhánh bên này, người thứ hai sẽ bắt chước đi y hệt như thế ở vị trí đối xứng tại nhánh bên kia.
Do tính đối xứng được bảo toàn sau mỗi cặp nước đi, người thứ hai luôn luôn có nước đi hợp lệ. Người đi sau chắc chắn sẽ giành chiến thắng.
Kết luận: Người đi sau thắng.
Các bài toán về trò chơi đối xứng cuốn hút đúng không.