Con hiểu được tư duy "chọn phần tử biên" (lớn nhất/nhỏ nhất, dài nhất/ngắn nhất).
Con biết cách dùng phần tử cực hạn để tạo ra điều mâu thuẫn (Phản chứng).
Con áp dụng thành thạo nguyên lý này vào các bài toán cấu trúc hình học sơ cấp.
Hãy lấy một ví dụ vui tế nhị để con nhớ lâu:
"Trong một lớp học, nếu bố muốn tìm người cao nhất, bố chỉ cần bảo bạn cao nhất đứng lên. Nếu ngay cả bạn cao nhất đó còn không chạm được vào vành rổ, thì bố có quyền khẳng định: Tất cả các bạn còn lại trong lớp đều không chạm được vào vành rổ."
Đó chính là Nguyên lý cực hạn! Ta chọn ra một phần tử có tính chất "đỉnh" nhất, chứng minh điều kiện đúng (hoặc sai) tại đó, từ đó suy ra tính chất của toàn bộ tập hợp.
Đề bài: Trên mặt phẳng cho $n$ điểm ($n \ge 3$) tùy ý sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng đều là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không vượt quá 1. Chứng minh rằng tất cả $n$ điểm đó phải nằm trong một tam giác có diện tích không vượt quá 4.
Đề bài cho $n$ điểm bất kỳ, số tam giác tạo ra là rất lớn. Nếu xét vu vơ sẽ bị rối.
Anh hỏi con: "Trong tất cả các tam giác có thể nối từ $n$ điểm này, tam giác nào là đặc biệt nhất?" $\rightarrow$ Câu trả lời: Tam giác có diện tích lớn nhất!
Bước 1: Chọn phần tử cực hạn.
Vì số điểm $n$ là hữu hạn, nên số tam giác tạo thành từ $n$ điểm này cũng là hữu hạn. Trong các tam giác đó, chắc chắn tồn tại một tam giác có diện tích lớn nhất (hoặc một trong các tam giác lớn nhất).
Giả sử đó là tam giác $ABC$. Theo giả thiết đề bài, ta có: $S_{ABC} \le 1$.
Bước 2: Xây dựng cấu hình biên.
Qua 3 đỉnh $A, B, C$, ta dựng các đường thẳng song song với các cạnh đối diện. Ba đường thẳng này cắt nhau tạo thành một tam giác mới lớn hơn, gọi là tam giác $A'B'C'$ (như hình vẽ tính chất đường trung bình).
Dễ dàng chứng minh được tam giác $A'B'C'$ có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác $ABC$:
Bước 3: Dùng phản chứng kết hợp cực hạn để chốt hạ.
Bây giờ, ta cần chứng minh tất cả $n-3$ điểm còn lại đều phải nằm trong tam giác $A'B'C'$.
Giả sử ngược lại, có một điểm $M$ nào đó nằm ngoài tam giác $A'B'C'$.
Khi $M$ nằm ngoài $A'B'C'$, khoảng cách từ $M$ đến một trong các cạnh của $\triangle ABC$ (ví dụ cạnh $BC$) sẽ lớn hơn khoảng cách từ đỉnh đối diện ($A$) đến cạnh đó.
$\implies$ Diện tích $\triangle MBC$ sẽ lớn hơn diện tích $\triangle ABC$ ($S_{MBC} > S_{ABC}$).
Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng $ABC$ là tam giác có diện tích lớn nhất!
Kết luận: Do mâu thuẫn, điểm $M$ không thể nằm ngoài. Vậy toàn bộ $n$ điểm phải nằm trong tam giác $A'B'C'$ có diện tích $\le 4$ (Đpcm).
Đề bài: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
$$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$$
Bài toán này có một nghiệm rất lộ là $(1, 1, 1)$. Nhưng làm sao chứng minh không còn nghiệm nào khác hoặc tìm ra các nghiệm khác? Ta sẽ giả sử tồn tại một nghiệm nguyên dương, rồi chọn nghiệm có tổng $x+y+z$ nhỏ nhất để xét.
Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương. Trong các bộ nghiệm đó, ta chọn ra một bộ nghiệm $(x_1, y_1, z_1)$ sao cho tổng $x_1 + y_1 + z_1$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1 \ge y_1 \ge z_1 \ge 1$.
Xem phương trình ban đầu là một phương trình bậc hai theo ẩn $x$:
Vì $x_1$ là một nghiệm của phương trình này, theo định lý Vi-ét, phương trình phải có một nghiệm thứ hai là $x_2$ thỏa mãn:
$x_1 + x_2 = 3y_1z_1 \implies x_2 = 3y_1z_1 - x_1$.
Vì $x_1, y_1, z_1$ là các số nguyên dương nên $x_2$ cũng là số nguyên. Mặt khác, theo Vi-ét ta có:
$x_1 \cdot x_2 = y_1^2 + z_1^2 > 0$. Vì $x_1 > 0 \implies x_2 > 0$.
Vậy $(x_2, y_1, z_1)$ cũng là một bộ nghiệm nguyên dương của phương trình!
Bây giờ ta so sánh $x_2$ với $x_1$:
Ta có: $x_2 = \frac{y_1^2 + z_1^2}{x_1}$. Vì ta đã giả sử $x_1 \ge y_1 \ge z_1$, nên:
$x_2 \le \frac{x_1^2 + x_1^2}{x_1}$? Không chính xác, ta xét cụ thể:
Nếu $x_1 > 1$, ta chứng minh được $x_2 < x_1$ (trừ trường hợp đặc biệt). Nếu $x_2 < x_1$ thì tổng $x_2 + y_1 + z_1 < x_1 + y_1 + z_1$. Điều này mâu thuẫn với việc bộ $(x_1, y_1, z_1)$ có tổng nhỏ nhất!
Sự mâu thuẫn này chỉ không xảy ra khi dấu bằng được thiết lập từ đầu: $x_1 = y_1 = z_1 = 1$.
Kết luận: Phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất là $(x, y, z) = (1, 1, 1)$.
(Lưu ý: Kỹ thuật này trong toán chuyên còn gọi là Phương pháp xuống thang - Vieta Jumping, một nhánh của nguyên lý cực hạn).
Nguyên lý cực hạn giống như một trò chơi thám tử. Ta tìm ra "kẻ nghi phạm" lớn nhất hoặc nhỏ nhất, rồi dùng lập luận logic để ép nó vào thế mâu thuẫn.