Học phần: BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ : SỐ HỌC & CẤU TRÚC LOGIC
0. BÍ MẬT CỦA NHỮNG KÝ HIỆU TƯ DUY 1. SỐ HỌC & CẤU TRÚC LOGIC 2. ĐA THỨC, HẰNG ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG CHỨNG MINH CHIA HẾT
Quay lại khóa học

ĐA THỨC, HẰNG ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG CHỨNG MINH CHIA HẾT

Mục tiêu bài học

  • Con hiểu "Biến $x, n$" đại diện cho một số chưa biết và biết cách thu gọn, nhân đơn thức/đa thức đơn giản.

  • Con làm chủ 3 Hằng đẳng thức nền tảng dành cho cấp độ Lớp 6–7.

  • Con biết vận dụng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử (đưa về dạng tích) nhằm chứng minh chia hết.

PHẦN 1: TƯ DUY ĐA THỨC (CHUYỂN TỪ SỐ SANG BIẾN)

1. Dẫn dắt tư duy: "Biến" là gì?

  • Đặt vấn đề: "Ngày Tiểu học, con làm toán với ô trống $\square + 3 = 5$. Lên cấp 2, người ta thay ô trống $\square$ bằng một chữ cái như $x, y, n$. Chữ cái đó gọi là Biến (tức là giá trị có thể biến đổi được)."

  • Khái niệm Đa thức: Đa thức chỉ đơn giản là một tổng/hiệu của các biểu thức chứa biến (ví dụ: $n^3 + 5n$, $x^2 - 2x + 1$).

2. Phép nhân Đa thức (Quy tắc Phân phối - "Bắt tay")

Anh hướng dẫn con quy tắc nhân phân phối đơn giản:

$$a(b + c) = ab + ac$$
$$(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

💡 Hình ảnh hóa: Tương tự như 2 bạn ở nhóm 1 $(a, b)$ lần lượt đi bắt tay 2 bạn ở nhóm 2 $(c, d)$.

PHẦN 2: BỘ 3 HẰNG ĐẲNG THỨC "VÀNG" DÀNH CHO LỚP 6–7

Thay vì bắt con nhớ cả 7 hằng đẳng thức lớp 8, anh chỉ cần cho con làm chủ 3 dạng cốt lõi này trước:

1. Hiệu hai bình phương

$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \quad \iff \quad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

  • Ý nghĩa: Biến một hiệu chứa bình phương thành dạng tích.

  • Ứng dụng: $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$ (Tạo ra tích của 2 số liên tiếp).

2. Bình phương của một tổng / hiệu

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

3. Hiệu và Tổng hai lập phương (Dạng mở rộng)

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

  • Hệ quả quan trọng cho Số học:

    • $(a^n - b^n)$ luôn chia hết cho $(a - b)$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

    • $(a^n + b^n)$ luôn chia hết cho $(a + b)$ với mọi $n$ lẻ.

PHẦN 3: KỸ THUẬT TÁCH TỔNG & PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ CHỨNG MINH CHIA HẾT

Bây giờ ta sẽ dùng "vũ khí" Đa thức để giải quyết các bài toán chia hết.

🎨 DẠNG 1: TÁCH ĐỂ TẠO TÍCH CÁC SỐ NGUYÊN LIÊN TIẾP

Bổ đề cốt lõi:

  • Tích 2 số nguyên liên tiếp: $n(n+1) \ \vdots \ 2$

  • Tích 3 số nguyên liên tiếp: $(n-1)n(n+1) \ \vdots \ 6$

📝 Bài toán 1:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$, biểu thức $A = n^3 - 19n$ chia hết cho 6.

  • Hướng dẫn dẫn dắt:

    • Ta biết $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$ chia hết cho 6.

    • Trong đề bài có $-19n$. Ta tách $-19n = -n - 18n$.

  • Lời giải:

    $$A = n^3 - n - 18n$$
    $$A = n(n^2 - 1) - 18n$$
    $$A = (n - 1)n(n + 1) - 18n$$

    • Vì $(n-1)n(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp $\implies (n-1)n(n+1) \ \vdots \ 6$.

    • Vì $18n = 6 \cdot (3n) \ \vdots \ 6$.

    • Suy ra $A \ \vdots \ 6 \quad (\text{Đpcm})$.

🎨 DẠNG 2: THÊM BỚT BẬC CAO DỰA VÀO HẰNG ĐẲNG THỨC

📝 Bài toán 2:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, $B = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ chia hết cho 24.

  • Hướng dẫn dẫn dắt:

    • $24 = 3 \times 8$. Vì $\gcd(3, 8) = 1$, ta cần chứng minh $B \ \vdots \ 3$ và $B \ \vdots \ 8$.

    • Hãy thử phân tích $B$ thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử!

  • Lời giải:

    $$B = (n^4 + 2n^3) - (n^2 + 2n)$$
    $$B = n^3(n + 2) - n(n + 2)$$
    $$B = (n + 2)(n^3 - n)$$
    $$B = (n + 2) \cdot n(n^2 - 1)$$
    $$B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)$$

    • Nhận xét: $B$ là tích của 4 số nguyên liên tiếp!

    • Trong 4 số nguyên liên tiếp:

      • Chắc chắn có ít nhất 1 số chia hết cho 3 $\implies B \ \vdots \ 3$.

      • Chắc chắn có 2 số chẵn liên tiếp, trong đó 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 $\implies \text{Tích chia hết cho } 2 \times 4 = 8 \implies B \ \vdots \ 8$.

    • Vì $\gcd(3, 8) = 1$ nên $B \ \vdots \ (3 \times 8) = 24 \quad (\text{Đpcm})$.

🎨 DẠNG 3: VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC $a^n - b^n$ VÀ $a^n + b^n$

📝 Bài toán 3:

Chứng minh rằng $C = 2025^n + 2027^n - 2$ chia hết cho 2026 với mọi $n$ là số tự nhiên lẻ.

  • Hướng dẫn dẫn dắt:

    • Nhận xét mối liên hệ với 2026: $2025 = 2026 - 1$ và $2027 = 2026 + 1$.

    • Ta nhóm: $C = (2025^n - 1) + (2027^n - 1)$.

  • Lời giải:

    • Áp dụng hằng đẳng thức mở rộng $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + b^{n-1})$:

      • $(2025^n - 1^n) \ \vdots \ (2025 - 1) = 2024$ (Chưa xuất hiện 2026, ta xét cách khác).

    • Cách nhóm đúng hơn: Tách $-2 = -1 - 1$ rồi ghép:

      $$C = (2025^n + 1) + (2027^n - 1)$$

      • Vì $n$ lẻ, $(2025^n + 1^n) \ \vdots \ (2025 + 1) = 2026$.

      • $(2027^n - 1^n) \ \vdots \ (2027 - 1) = 2026$ với mọi $n$.

    • Cả hai số hạng đều chia hết cho 2026, suy ra $C \ \vdots \ 2026 \quad (\text{Đpcm})$.

🧩 THỬ THÁCH TƯ DUY CHO BÉ (HOMEWORK)

Anh có thể giao 3 bài tập này để bé tự thực hành biến đổi:

  1. Bài 1: Phân tích biểu thức $P = n^3 + 3n^2 + 2n$ thành tích các số nguyên liên tiếp. Từ đó chứng minh $P \ \vdots \ 6$ với mọi $n \in \mathbb{Z}$.

  2. Bài 2: Chứng minh rằng $Q = n^5 - n$ chia hết cho 30 với mọi $n \in \mathbb{Z}$. (Gợi ý: $30 = 5 \times 6$, phân tích $n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$).

  3. Bài 3: Không thực hiện tính toán, hãy chứng minh $A = 2^{20} - 1$ chia hết cho 15. (Gợi ý: $2^{20} = (2^4)^5 = 16^5$).

← Bài trước